Недавно наткнулся на вполне естественную задачку, которая заняла некоторое время. Задачка такая. Пусть А и В два действительных числа больше единицы и Р = АхВ их произведение. Требуется определить, в каком-то смысле, вклады А и В в Р, т.е. найти процентное соотношение А и В в Р. Первая реакция была прологарифмировать и нормализовать исходное равенство, поделив его на Р. Потом в таком простом «решении» возникло сомнение, поскольку логарифм функция заковыристая, и если вблизи 1 там видимо все в порядке, то для больших А и В могут возникать неприятности. Поэтому стали мы с моим приятелем думать, как из этого выбираться. После некоторых размышлений поняли, что само понятие «вклада», понимаемое интуитивно, нуждается в определении. Определение возникло такое. Мы ищем отображение (А,В) →(ά, β) с такими свойствами:
1. 0≤ά, β≤1
2. ά+β=1
3. A≤B→ ά≤β
4. A=B→ ά=β
5. A=1→ ά=0 (B=1→ β =0)
6. При фиксированном А, если В→∞, то β→1 (симметрично для В).
Посмотрев разные варианты таких функций, понял, что исходно выбранный нормализованный логарифм, по-видимому, лучше всего подходит под интуитивное понимание решения.
